Exercice 8, § 4

a) Soit E un ensemble réticulé distributif (III, p. 72, exerc. 16). Si a est irréductible dans E (exerc. 7), montrer que la relation $a \leq \sup(x, y)$ entraîne $a \leq x$ ou $a \leq y$. b) Soient E un ensemble réticulé distributif fini, J l’ensemble de ses éléments irréductibles, ordonné par l’ordre induit. Montrer que l’isomorphisme $x \mapsto S(x)$ de E sur une partie de $\mathfrak{P}(J)$ défini dans l’exerc. 7 b) est tel que $S(\sup(x, y)) = S(x) \cup S(y)$. En déduire que, si J* est l’ensemble obtenu en munissant J de l’ordre opposé, E est isomorphe à l’ensemble ordonné $\mathscr{A}(J^*, I)$ des applications croissantes de J* dans I = {0, 1} (III, p. 70, exerc. 6). c) Les hypothèses étant celles de b), soit P l’ensemble des éléments de J autres que le plus petit élément de E. Pour tout $x \in E$, soient $y_1, \ldots, y_k$ les éléments minimaux distincts de l’intervalle $]x, -\infty[$ dans E ; pour chaque indice i, soit $q_i$ un élément de P tel que $q_i \notin S(x)$ et $q_i \in S(y_i)$. Montrer que les éléments $q_1, \ldots, q_k$ sont deux à deux incomparables. d) Inversement, soient $q_1, \ldots, q_k$ des éléments deux à deux incomparables de P. Soient

Montrer que l’on a $v_i < u$ pour $1 \leq i \leq k$. Soient alors Montrer que $x < y_i$ pour tout indice i, et en déduire qu’il existe au moins k éléments minimaux distincts dans l’intervalle $]x, -\infty[$.