Bài tập 8, § 4

(a) Cho $E$ là một dàn phân phối (§ 1, Bài tập 16). Nếu $a$ là bất khả quy trong $E$ (Bài tập 7), hãy chứng minh rằng quan hệ $a\leq\sup(x,y)$ suy ra $a\leq x$ hoặc $a\leq y$.

(b) Cho $E$ là một dàn phân phối hữu hạn và cho $J$ là tập hợp các phần tử bất khả quy của nó, được sắp thứ tự bởi thứ tự cảm sinh. Hãy chứng minh rằng đẳng cấu $x\to S(x)$ của $E$ lên một tập con của $\mathfrak{P}(J)$ được định nghĩa trong Bài tập 7 (b) có tính chất $S(\sup(x,y))=S(x)\cup S(y)$. Suy ra rằng nếu $J^*$ là tập hợp có thứ tự thu được bằng cách trang bị cho $J$ thứ tự đối, thì $E$ đẳng cấu với tập hợp $\mathscr{A}_0(J^*,I)$ các ánh xạ tăng của $J^*$ vào $I=\{0,1\}$ (§ 1, Bài tập 6).

(c) Với các giả thiết của (b), cho $P$ là tập hợp các phần tử của $J$ khác phần tử nhỏ nhất của $E$. Với mỗi $x\in E$, cho $y_1,\ldots,y_k$ là các phần tử cực tiểu phân biệt của khoảng $]x,\to[$ trong $E$; với mỗi chỉ số $i$ cho $q_i$ là một phần tử của $P$ sao cho $q_i\notin S(x)$ và $q_i\in S(y_i)$. Hãy chứng minh rằng không có hai phần tử nào trong các phần tử $q_1,\ldots,q_k$ là so sánh được.

(d) Ngược lại, cho $q_1$, ..., $q_k$ là $k$ phần tử của P, không có hai phần tử nào trong chúng là so sánh được. Cho $u = \sup{(q_1, \ldots, q_k)}$ và cho

Hãy chứng minh rằng $v_i < u$ với $1 \leqslant i \leqslant k$. Cho $x = \inf{(v_1, \ldots, v_k)}$ và cho

Hãy chứng minh rằng $x < y_i$ với mỗi chỉ số $i$, và suy ra rằng khoảng $]x, \rightarrow[$ có ít nhất $k$ phần tử cực tiểu phân biệt.