Exercice 13, § 6

a) Soit w(ξ) un symbole fonctionnel ordinal (III, p. 78, exerc. 17) défini pour ξ ≥ α_0 et tel que la relation α_0 ≤ ξ < ξ′ entraîne w(ξ) < w(ξ′). Montrer que si ξ ≥ α_0, on a w(ξ + η) ≥ w(ξ) + η pour tout ordinal η (raisonner par l’absurde). En déduire qu’il existe α tel que w(ξ) ≥ ξ pour tout ξ ≥ α (prendre pour α le plus petit ordinal indécomposable ≥ α_0; cf. exerc. 11 a)). b) Soit f(ξ, η) le symbole fonctionnel ordinal défini dans l’exerc. 17 b) de III, p. 78; on suppose que les relations α_0 ≤ ξ ≤ ξ′ et α_0 ≤ η ≤ η′ entraînent g(ξ, η) ≤ g(ξ′, η′), de sorte que les relations α_0 ≤ ξ ≤ ξ′ et 1 ≤ η ≤ η′ entraînent f(ξ, η) ≤ f(ξ′, η′) (III, p. 78, exerc. 17 d)). Montrer que, pour tout ordinal β, il existe au plus un nombre fini d’ordinaux η pour lesquels l’équation f(ξ, η) = β a au moins une solution (remarquer que, si ξ_1 est la plus petite solution de f(ξ, η_1) = β et ξ_2 la plus petite solution de f(ξ, η_2) = β, la relation η_1 < η_2 entraîne ξ_1 > ξ_2). c) On appelle ordinal critique pour f tout ordinal infini γ > α_0 tel que f(ξ, γ) = γ pour tout ξ tel que $\alpha_0 \leq \xi < \gamma$. Montrer qu’un ordinal critique de $f$ n’a pas de prédécesseur. S’il existe un ensemble d’ordinaux $A$ tel que $f(\xi, \gamma) = \gamma$ pour tout $\xi \in A$ et si $\gamma$ est la borne supérieure de $A$, montrer que $\gamma$ est ordinal critique. d) Soit $h(\xi) = f(\xi, \xi)$ (défini pour $\xi \geq \alpha_0$). On définit par récurrence $\alpha_1 = \alpha_0 + 2$, $\alpha_{n+1} = h(\alpha_n)$ pour $n \geq 1$. Montrer que la borne supérieure de la suite $(\alpha_n)$ est un ordinal critique pour $f$. e) Montrer que la borne supérieure de tout ensemble d’ordinaux critiques pour $f$ est encore un ordinal critique, et que tout ordinal critique est indécomposable (remarquer que

pour $\xi \geq \alpha_0$).