Bài tập 13, § 6

(a) Cho $w(\xi)$ là một ký hiệu phiếm hàm thứ tự (§2, Bài tập 17), được định nghĩa với $\xi \geqslant \alpha_0$ và sao cho quan hệ $\alpha_0 \leqslant \xi < \xi'$ kéo theo $w(\xi) < w(\xi')$. Chứng minh rằng, nếu $\xi \geqslant \alpha_0$, thì $w(\xi + \eta) \geqslant w(\xi) + \eta$ với mọi thứ tự $\eta$ (lập luận bằng phản chứng). Suy ra rằng tồn tại $\alpha$ sao cho $w(\xi) \geqslant \xi$ với mọi $\xi \geqslant \alpha$ (lấy $\alpha$ là thứ tự không phân tích được nhỏ nhất $\geqslant \alpha_0$; xem Bài tập 11 (a)).

(b) Cho $f(\xi, \eta)$ là ký hiệu phiếm hàm thứ tự được định nghĩa trong §2, Bài tập 17 (b). Giả sử rằng các quan hệ $\alpha_0 \leqslant \xi \leqslant \xi'$ và $\alpha_0 \leqslant \eta \leqslant \eta'$ kéo theo $g(\xi, \eta) \leqslant g(\xi', \eta')$, sao cho các quan hệ $\alpha_0 \leqslant \xi \leqslant \xi'$ và $1 \leqslant \eta \leqslant \eta'$ kéo theo $f(\xi, \eta) \leqslant f(\xi', \eta')$ (§ 2, Bài tập 17 (d)). Chứng minh rằng với mỗi thứ tự $\beta$ tồn tại nhiều nhất một số hữu hạn các thứ tự $\eta$ mà phương trình $f(\xi, \eta) = \beta$ có ít nhất một nghiệm. (Chú ý rằng nếu $\xi_1$ là nghiệm nhỏ nhất của $f(\xi, \eta_1) = \beta$ và nếu $\xi_2$ là nghiệm nhỏ nhất của $f(\xi, \eta_2) = \beta$, thì quan hệ $\eta_1 < \eta_2$ kéo theo $\xi_1 > \xi_2$.)

(c) Một thứ tự tới hạn đối với $f$ là một thứ tự vô hạn $\gamma > \alpha_0$ sao cho $f(\xi, \gamma) = \gamma$ với mọi $\xi$ sao cho $\alpha_0 \leqslant \xi < \gamma$. Chứng minh rằng một thứ tự tới hạn (đối với $f$) không có tiền nhiệm. Nếu tồn tại một tập hợp A các thứ tự sao cho $f(\xi, \gamma) = \gamma$ với mọi $\xi \in A$, và nếu $\gamma$ là cận trên nhỏ nhất của A, chứng minh rằng $\gamma$ là một thứ tự tới hạn.

(d) Cho $h(\xi) = f(\xi, \xi)$ (được định nghĩa với $\xi \geqslant \alpha_0$). Định nghĩa quy nạp $\alpha_1 = \alpha_0 + 2$, $\alpha_{n+1} = h(\alpha_n)$ với $n \geqslant 1$. Chứng minh rằng cận trên nhỏ nhất của dãy $(\alpha_n)$ là một thứ tự tới hạn đối với $f$.

(e) Chứng minh rằng cận trên nhỏ nhất của mọi tập hợp các thứ tự tới hạn đối với $f$ lại là một thứ tự tới hạn, và mọi thứ tự tới hạn đều không phân tích được (chú ý rằng $f(\xi, \eta + 1) \geqslant \omega(\xi) + \eta \geqslant \xi + \eta$ với mọi $\xi \geqslant \alpha_0$).