Exercice 15, § 6

Soit $\gamma$ un ordinal $> 1$ ; pour tout ordinal $\alpha$, on désigne par $L(\alpha)$ l’ensemble des exposants $\lambda_i$ dans l’expression de $\alpha$ donnée dans l’exerc. 12 a) (III, p. 89). a) Montrer que l’on a $\lambda_i \leq \alpha$ pour tout $\lambda_i \in L(\alpha)$, et qu’on ne peut avoir $\lambda_i = \alpha$ pour un de ces ordinaux que si $\alpha = 0$ ou si $\alpha$ est un ordinal critique pour $\xi^n$ (exerc. 14 c)). b) On définit $L_n(\alpha)$ par récurrence sur $n$, de sorte que $L_1(\alpha) = L(\alpha)$, et que $L_n(\alpha)$ soit la réunion des ensembles $L(\beta)$ lorsque $\beta$ parcourt $L_{n-1}(\alpha)$. Montrer qu’il existe un entier $n_0$ tel que $L_{n+1}(\alpha) = L_n(\alpha)$ pour $n \geq n_0$, et que les éléments de $L_n(\alpha)$ sont alors 0 ou des ordinaux critiques pour $\xi^n$. (Raisonner par l’absurde en considérant pour chaque $n$ l’ensemble $M_n(\alpha)$ des $\beta \in L_n(\alpha)$ tels que $\beta \notin L(\beta)$, et en supposant que $M_n(\alpha)$ ne soit vide pour aucun $n$; utiliser a) pour obtenir une contradiction.)