Bài tập 15, § 6

Cho $\gamma$ là một số thứ tự $> 1$, và với mỗi số thứ tự $\alpha$, ký hiệu $L(\alpha)$ là tập hợp các số mũ $\lambda_i$ trong biểu thức của $\alpha$ được cho trong Bài tập 12 (a).

(a) Chứng minh rằng $\lambda_i \leqslant \alpha$ với mỗi $\lambda_i \in L(\alpha)$, và $\lambda_i = \alpha$ đối với một trong các số thứ tự ấy chỉ khi $\alpha = 0$ hoặc khi $\alpha$ là một số thứ tự tới hạn đối với $\xi^\eta$ (Bài tập 14 (c)).

(b) Định nghĩa $L_n(\alpha)$ bằng quy nạp theo $n$ như sau : $L_1(\alpha) = L(\alpha)$, và $L_n(\alpha)$ là hợp của các tập hợp $L(\beta)$ khi $\beta$ chạy qua $L_{n-1}(\alpha)$. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên $n_0$ sao cho $L_{n+1}(\alpha) = L_n(\alpha)$ mỗi khi $n \geqslant n_0$, và khi đó các phần tử của $L_n(\alpha)$ hoặc là 0 hoặc là các số thứ tự tới hạn đối với $\xi^\eta$. (Lập luận bằng phản chứng: với mỗi $n$, xét tập hợp $M_n(\alpha)$ gồm các phần tử $\beta \in L_n(\alpha)$ sao cho $\beta \notin L(\beta)$, và giả sử rằng $M_n(\alpha)$ không rỗng với mọi $n$; dùng (a) để thu được một mâu thuẫn.)