Exercice 18, § 6

a) Pour tout ordinal $\alpha$ et tout cardinal $m \neq 0$, on a $\aleph_{\alpha+1}^m = \aleph_\alpha^m \cdot \aleph_{\alpha+1}$ (se borner au cas $m < \aleph_{\alpha+1}$ et considérer les applications du cardinal $m$ dans l’ordinal $\omega_{\alpha+1}$). b) Déduire de a) que, pour tout ordinal $\gamma$ tel que $\mathrm{Card}(\gamma) \leq m$, on a $\aleph_{\alpha+\gamma}^m = \aleph_\alpha^m \cdot \aleph_{\alpha+\gamma}^{\mathrm{Card}(\gamma)}$ (raisonner par récurrence transfinie sur $\gamma$). c) Déduire de b) que, pour tout ordinal $\alpha$ tel que $\mathrm{Card}(\alpha) \leq m$, on a $\aleph_\alpha^m = 2^m \cdot \aleph_\alpha^{\mathrm{Card}(\alpha)}$.