Bài tập 18, § 6

(a) Với mỗi số thứ tự $\alpha$ và mỗi lực lượng $\mathfrak{m} \neq 0$ ta có $\aleph_{\alpha+1}^{\mathfrak{m}} = \aleph_\alpha^{\mathfrak{m}} \cdot \aleph_{\alpha+1}$ (rút gọn về trường hợp $\mathfrak{m} < \aleph_{\alpha+1}$ và xét các ánh xạ của lực lượng $\mathfrak{m}$ vào số thứ tự $\omega_{\alpha+1}$).

(b) Suy ra từ (a) rằng, với mỗi số thứ tự $\gamma$ sao cho Card $(\gamma) \leqslant \mathfrak{m}$, ta có $\aleph_{\alpha+\gamma}^{\mathfrak{m}} = \aleph_\alpha^{\mathfrak{m}} \cdot \aleph_{\alpha+\gamma}^{\mathrm{Card}(\gamma)}$ (bằng quy nạp siêu hạn theo $\gamma$).

(c) Suy ra từ (b) rằng, với mỗi số thứ tự $\alpha$ sao cho Card $(\alpha) \leqslant \mathfrak{m}$, ta có $\aleph_\alpha^{\mathfrak{m}} = 2^{\mathfrak{m}} \cdot \aleph_\alpha^{\mathrm{Card}\,(\alpha)}$.