Exercice 11, § 2

a) Montrer que dans un espace $\mathbf{R}^n$ tout ensemble convexe $A$ de dimension $n$ possède au moins un point intérieur (considérer un système affinement libre de $n + 1$ points de $A$). En déduire que si $A$ est partout dense dans $\mathbf{R}^n$, on a $A = \mathbf{R}^n$. b) Soit $E$ l’espace normé $l^1(\mathbf{N})$ des séries absolument convergentes $x = (\xi_n)$ de nombres réels (I, p. 4); montrer que l’ensemble $P$ des $x$ tels que $\xi_n \geqslant 0$ pour tout indice $n$ est un cône convexe saillant qui engendre $E$, mais ne contient aucun point intérieur. c) Soit $E$ un espace vectoriel topologique séparé sur lequel il existe une forme linéaire $f$ non continue (cf. II, p. 91, exerc. 17, a). Montrer que les ensembles $A$ et $B$ définis par les relations $f(x) \geqslant 0,\ f(x) < 0$ sont convexes non vides, complémentaires, partout denses et que chacun d’eux engendre $E$ (algébriquement).