Bài tập 11, § 2

a) Chứng minh rằng, trong không gian $\mathbf{R}^n$, mọi tập hợp lồi A có chiều $n$ đều chứa ít nhất một điểm trong (xét một hệ $n + 1$ điểm của A độc lập afin). Suy ra rằng nếu A trù mật khắp nơi trong $\mathbf{R}^n$ thì $A = \mathbf{R}^n$. b) Cho E là không gian định chuẩn $l^1(\mathbf{N})$ của các chuỗi tuyệt đối hội tụ của các số thực $x = (\xi_n)$ (I, p. 4); chứng minh rằng tập hợp P gồm các $x$, sao cho $\xi_n \geq 0$ với mọi chỉ số $n$, là một nón lồi thực sự, sinh ra E nhưng không chứa điểm trong nào. c) Cho E là một không gian vectơ tôpô Hausdorff trên đó tồn tại một dạng tuyến tính không liên tục $f$ (xem II, p. 86, bài tập 17, a)). Chứng minh rằng các tập hợp A và B xác định bởi các quan hệ f(x) \geqslant 0,\ f(x) < 0\text{ là lồi, không rỗng, bù nhau, trù mật khắp nơi và mỗi tập hợp trong chúng sinh ra E (đại số).}