Exercice 6, § 3

a) Soient E un espace (DF) (IV, p. 58, exerc. 2), U un ensemble convexe tel que pour toute partie bornée, convexe et équilibrée A de E, $U \cap A$ soit un voisinage de 0 pour la topologie induite sur A par celle de E. Montrer que U est un voisinage de 0 dans A. (Soit $(A_n)$ une base dénombrable de la bornologie canonique de E (III, p. 3, déf. 5). Montrer qu'on peut définir par récurrence une suite $(\lambda_n)$ de nombres $> 0$ et une suite $(V_n)$ de voisinages de 0 dans E, convexes, équilibrés et fermés, tels que $\lambda_n A_n \subset \frac{1}{3} U$, $\lambda_n A_n \subset \bigcap_{j=1}^\infty V_j$, $V_n \cap A_n \subset U$ quel que soit n. Montrer d'abord que si les $\lambda_j$ et $V_j$ sont déterminés pour $j \leq n$, on peut trouver $\lambda_{n+1}$ tel que $\lambda_{n+1} A_{n+1} \subset \frac{1}{3} U$ et $\lambda_{n+1} A_{n+1} \subset V_j$ pour $j \leq n$. Prouver ensuite que l'on peut trouver $V_{n+1}$ tel que $\lambda_j A_j \subset V_{n+1}$ pour $j \leq n + 1$ et $V_{n+1} \cap A_{n+1} \subset U$; pour cela, en désignant par A l'enveloppe convexe des $\lambda_j A_j$ pour $j \leq n + 1$, montrer qu'on peut prendre $V_{n+1} = A + \overline{V}$ pour un voisinage convexe équilibré V de 0 convenable ; on remarquera pour cela qu'il suffit de montrer que, si $B = A_{n+1} \cap \mathbf{C} U$, 0 n'est pas adhérent à l'ensemble $B + 2A.$ b) Déduire de a) que si $u$ est une application linéaire de E dans un espace localement convexe F, telle que la restriction de $u$ à toute partie bornée de E soit continue, alors $u$ est continue (cf. IV, p. 50, exerc. 15).