Bài tập 6, § 3

(a) Cho $E$ là một không gian (DF) (IV, p. 58, Bài tập 2), $U$ là một tập lồi sao cho với mọi tập con bị chặn, lồi và cân bằng $A$ của $E$, $U \cap A$ là một lân cận của 0 đối với tôpô cảm sinh trên $A$ bởi tôpô của $E$. Bây giờ chứng minh rằng $U$ là một lân cận của 0 trong $A$. (Cho $(A_n)$ là một cơ sở đếm được của bornologie chính tắc của $E$ (III, p. 3, định nghĩa 5). Bây giờ chứng minh rằng có thể định nghĩa bằng quy nạp một dãy $(\lambda_n)$ các số $> 0$ và một dãy $(V_n)$ các lân cận của 0 trong $E$, lồi, cân bằng và đóng, sao cho $\lambda_n A_n \subset \frac{1}{3} U$, $\lambda_n A_n \subset \bigcap_{j=1}^\infty V_j$, $V_n \cap A_n \subset U$ với mọi n. Bây giờ trước hết chứng minh rằng nếu các $\lambda_j$ và $V_j$ được xác định với $j \leq n$, thì có thể tìm $\lambda_{n+1}$ sao cho $\lambda_{n+1} A_{n+1} \subset \frac{1}{3} U$ và $\lambda_{n+1} A_{n+1} \subset V_j$ với $j \leq n$. Sau đó chứng minh rằng có thể tìm $V_{n+1}$ sao cho $\lambda_j A_j \subset V_{n+1}$ với $j \leq n + 1$ và $V_{n+1} \cap A_{n+1} \subset U$; vì mục đích này, ký hiệu A là bao lồi của các $\lambda_j A_j$ với $j \leq n + 1$, hãy chỉ ra rằng có thể lấy $V_{n+1} = A + \overline{V}$ với một lân cận lồi cân bằng thích hợp V của 0; vì mục đích này, chú ý rằng chỉ cần chứng minh rằng, nếu $B = A_{n+1} \cap \mathbf{C} U$, 0 không bám vào tập hợp $B + 2A.$ (b) Suy ra từ a) rằng nếu $u$ là một ánh xạ tuyến tính từ $E$ vào một không gian lồi địa phương $F$, sao cho hạn chế của $u$ trên mọi tập con bị chặn của $E$ là liên tục, thì $u$ liên tục (xem IV, p. 50, Bài tập 15).