Exercice 18, § 1

Soit E un espace normé réel, de dimension $\geq 3$. On suppose qu’il existe une application bijective décroissante $\omega$ de l’ensemble $\mathfrak{M}$ des sous-espaces vectoriels fermés de E sur lui-même, telle que $\omega(\omega(M)) = M$ et $M \cap \omega(M) = \{0\}$ pour tout $M \in \mathfrak{M}$. a) Montrer qu’il existe une application linéaire $u$ de E sur son dual $E'$ bien déterminée à un facteur scalaire près et telle que $u(M) = (\omega(M))^\circ$ pour tout $M \in \mathfrak{M}$. (En considérant le cas où M est de dimension 1, appliquer le th. fondamental de la géométrie projective (A, II, p. 203, exerc. 16) en remarquant que le seul automorphisme du corps $\mathbf{R}$ est l’identité (TG, IV, p. 52, exerc. 3 du § 3).) b) Si l’on pose $\langle x|y \rangle = \langle x, u(y) \rangle$, montrer que $\langle x|x \rangle \neq 0$ pour tout $x \neq 0$ et que les relations $\langle x|y \rangle = 0$ et $\langle y|x \rangle = 0$ sont équivalentes. En déduire que $\langle y|x \rangle = \langle x|y \rangle$ pour tout couple de points $x, y$ de E (considérer un nombre $\lambda \in \mathbf{R}$ tel que $\langle \lambda x + y|x \rangle = 0$). c) Montrer que $\langle x|x \rangle$ garde un signe constant dans l’ensemble des $x \neq 0$; en remplaçant $u$ par $-u$ au besoin, on peut donc supposer que $\langle x|y \rangle$ est une forme bilinéaire symétrique positive séparante sur $E \times E$. d) Soit $\mathscr{T}_0$ la topologie initiale de E. Montrer que la topologie $\mathscr{T}$ sur E, définie par la norme $\langle x|x \rangle^{1/2}$, est plus fine que la topologie $\mathscr{T}_0$ (remarquer que le dual de E pour $\mathscr{T}$ contient le dual $E'$ de E pour $\mathscr{T}_0$). e) Montrer que $u$ est une application continue de E sur son dual $E'$, pour les topologies $\sigma(E, E')$ et $\sigma(E', E)$. En déduire que si E est complet pour la topologie initiale $\mathscr{T}_0$, $u$ est continue pour $\mathscr{T}_0$ et pour la topologie forte $\beta(E', E)$ (remarquer que $u$ transforme tout ensemble borné pour $\sigma(E, E')$ en un ensemble borné pour $\sigma(E', E)$). En déduire que les topologies $\mathscr{T}$ et $\mathscr{T}_0$ sont alors identiques, et que $\omega(M)$ est le supplémentaire orthogonal de M pour la structure d’espace hilbertien définie sur E par la forme $\langle x|y \rangle$ (cf. I, p. 17, th. 1). f) Montrer que dans l’espace $\ell^1(\mathbf{N})$, muni de la norme induite par celle de $\ell^\infty(\mathbf{N})$, il existe une application bijective $M \mapsto \omega(M)$ de $\mathfrak{M}$ sur lui-même, ayant les propriétés énoncées ci-dessus (IV, p. 47, exerc. 1).