Bài tập 18, § 1

Cho E là một không gian chuẩn thực có chiều $\geq 3$. Giả sử tồn tại một ánh xạ song ánh giảm $\omega$ từ tập hợp $\mathfrak{M}$ các không gian con vectơ đóng của E lên chính nó, sao cho $\omega(\omega(M)) = M$ và $M \cap \omega(M) = \{0\}$ với mọi $M \in \mathfrak{M}$. a) Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ tuyến tính $u$ từ E lên đối ngẫu $E'$ được xác định đến một nhân tử vô hướng và sao cho $u(M) = (\omega(M))^\circ$ với mọi $M \in \mathfrak{M}$. (Xét trường hợp M có chiều 1, áp dụng định lý cơ bản của hình học xạ ảnh (A, II, § 9, bài tập 16) bằng cách nhận thấy rằng tự đẳng cấu duy nhất của trường $\mathbf{R}$ là ánh xạ đồng nhất (GT, IV, § 3, bài tập 3). b) Nếu đặt $\langle x|y \rangle = \langle x, u(y) \rangle$, chứng minh rằng $\langle x|x \rangle \neq 0$ với mọi $x \neq 0$ và các hệ thức $\langle x|y \rangle = 0$ và $\langle y|x \rangle = 0$ là tương đương. Suy ra rằng $\langle y|x \rangle = \langle x|y \rangle$ với mọi cặp điểm $x, y$ của E (xét một số $\lambda \in \mathbf{R}$ sao cho $\langle \lambda x + y|x \rangle = 0$). c) Chứng minh rằng $\langle x|x \rangle$ có cùng dấu trên tập hợp mọi $x \neq 0$; nếu cần thì thay thế $u$ bởi $-u$, khi đó ta có thể giả sử rằng $\langle x|y \rangle$ là một dạng song tuyến tính dương, tách được, đối xứng trên $E \times E$. d) Gọi $\mathscr{T}_0$ là tôpô ban đầu của E. Chứng minh rằng tôpô $\mathscr{T}$ trên E, được xác định bởi chuẩn $\langle x|x \rangle^{1/2}$, mịn hơn tôpô $\mathscr{T}_0$ (nhận thấy rằng đối ngẫu của E đối với $\mathscr{T}$ chứa đối ngẫu $E'$ của E đối với $\mathscr{T}_0$). e) Chứng minh rằng $u$ là một ánh xạ liên tục từ E lên đối ngẫu $E'$, đối với các tôpô $\sigma(E, E')$ và $\sigma(E', E)$. Suy ra rằng nếu E đầy đủ đối với tôpô ban đầu $\mathscr{T}_0$, thì $u$ liên tục đối với $\mathscr{T}_0$ và đối với tôpô mạnh $\beta(E', E)$ (nhận thấy rằng $u$ biến mọi tập hợp bị chặn đối với $\sigma(E, E')$ thành một tập hợp bị chặn đối với $\sigma(E', E)$). Suy ra rằng khi đó các tôpô $\mathscr{T}$ và $\mathscr{T}_0$ là đồng nhất, và $\omega(M)$ là phần bù trực giao của M đối với cấu trúc không gian Hilbert được xác định trên E bởi dạng $\langle x|y \rangle$ (xem I, p. 17, định lý 1). f) Chứng minh rằng trong không gian $\ell^1(\mathbf{N})$, với chuẩn cảm sinh bởi chuẩn của $\ell^\infty(\mathbf{N})$ được trang bị cho nó, tồn tại một ánh xạ song ánh $M \mapsto \omega(M)$ từ $\mathfrak{M}$ lên chính nó, có các tính chất đã nêu ở trên (IV, p. 47, bài tập 1).