Exercice 33, § 1

Soit E un espace de Banach uniformément convexe (V, p. 66, exerc. 31). Il existe alors un nombre $\theta$ tel que $\frac{3}{4} \leqslant \theta < 1$ et tel que la relation $\|x - y\| \geqslant \frac{1}{2} \sup(\|x\|, \|y\|)$ dans E entraîne $\| \frac{1}{2}(x + y) \| \leqslant \theta \sup(\|x\|, \|y\|)$. a) Soit $(x_n)$ une suite de points de E telle que $\|x_n\| \leqslant M$ et qui tend vers 0 pour $\sigma(E, E')$. Montrer que si pour un indice $p$, on a $\|x_p\| \geqslant \frac{1}{2}M$, il existe $q > p$ tel que $\|x_p - x_q\| > \frac{1}{2}M$, et par suite $\| \frac{1}{2}(x_p + x_q) \| \leqslant \theta M$ (raisonner par l’absurde, en remarquant que pour $x' \in E'$ tel que $\|x'\| = 1$, on a $\langle x_p, x' \rangle = \lim_{n \to \infty} \langle x_p - x_n, x' \rangle$). En déduire qu’il existe une application strictement croissante $\ell$ de $\mathbf{N}$ dans lui-même telle que l’on ait $\| \frac{1}{2}(x_{\ell(2n)} + x_{\ell(2n+1)}) \| \leqslant M\theta$, de sorte que si $x_n^{(1)} = \frac{1}{2}(x_{\ell(2n)} + x_{\ell(2n+1)})$, la suite $(x_n^{(1)})$ tend vers 0 pour $\sigma(E, E')$, et que $\|x_n^{(1)}\| \leqslant M\theta$ pour tout $n$. b) Montrer qu’il existe une suite $(x_{n_k})$ extraite de $(x_n)$ telle que, si l’on pose $y(k) = x_{n_k}$, on ait la propriété suivante : pour tout entier $p > 1$, tout entier $q < p$ et tout entier $i$ tel que $1 \leqslant i \leqslant 2^{p-q}$,

(Itérer le procédé de a) en formant à partir d’une suite $(x_n^{(k)})$ une suite $(x_n^{(k+1)})$ de la même manière que $(x_n^{(1)})$ est formée à partir de $(x_n)$; puis utiliser un « procédé diagonal » convenable.) c) Soient $r$ et $q$ deux entiers $> 1$. Déduire de b) que si $r2^q \leqslant k \leqslant (r+1)2^q$, on a (décomposer la somme de gauche en plusieurs parties, en faisant varier $h$ de 1 à $2^q$, puis de $(j-1)2^q + 1$ à $j2^q$ pour $2 \leqslant j \leqslant r$, puis de $r2^q + 1$ à $k$). d) Montrer que pour toute suite $(x_n)$ bornée dans E, il existe une suite extraite $(x_{n_k})$ telle que la suite des moyennes $(x_{n_1} + \cdots + x_{n_k})/k$ converge pour la topologie initiale de E (th. de Banach-Saks-Kakutani). (En utilisant le fait que E est réflexif, se ramener au cas où la suite $(x_n)$ converge vers 0 pour $\sigma(E, E')$, et utiliser c) pour $q$ et $r$ assez grands.)