Bài tập 33, § 1

Cho E là một không gian Banach lồi đều (V, p. 66, Bài tập 31). Khi đó tồn tại một số $\theta$ sao cho $\frac{3}{4} \leqslant \theta < 1$ và sao cho quan hệ $\|x - y\| \geqslant \frac{1}{2} \sup(\|x\|, \|y\|)$ trong E kéo theo $\| \frac{1}{2}(x + y) \| \leqslant \theta \sup(\|x\|, \|y\|)$. a) Cho $(x_n)$ là một dãy điểm của E sao cho $\|x_n\| \leqslant M$ và hội tụ về 0 đối với $\sigma(E, E')$. Chứng minh rằng nếu với một chỉ số $p$, ta có $\|x_p\| \geqslant \frac{1}{2}M$, thì tồn tại $q > p$ sao cho $\|x_p - x_q\| > \frac{1}{2}M$, và do đó $\| \frac{1}{2}(x_p + x_q) \| \leqslant \theta M$ (lập luận phản chứng, nhận thấy rằng đối với $x' \in E'$ sao cho $\|x'\| = 1$, ta có $\langle x_p, x' \rangle = \lim_{n \to \infty} \langle x_p - x_n, x' \rangle$). Suy ra rằng tồn tại một ánh xạ tăng ngặt $\ell$ của $\mathbf{N}$ vào chính nó sao cho có $\| \frac{1}{2}(x_{\ell(2n)} + x_{\ell(2n+1)}) \| \leqslant M\theta$, sao cho nếu $x_n^{(1)} = \frac{1}{2}(x_{\ell(2n)} + x_{\ell(2n+1)})$, dãy $(x_n^{(1)})$ hội tụ về 0 đối với $\sigma(E, E')$, và $\|x_n^{(1)}\| \leqslant M\theta$ với mọi $n$. b) Chứng minh rằng tồn tại một dãy $(x_{n_k})$ trích xuất từ $(x_n)$ sao cho, nếu đặt $y(k) = x_{n_k}$, nó có tính chất sau: với mọi số nguyên $p > 1$, mọi số nguyên $q < p$ và mọi số nguyên $i$ sao cho $1 \leqslant i \leqslant 2^{p-q}$,

(Lặp lại thủ tục của a) bằng cách lập từ một dãy $(x_n^{(k)})$ một dãy $(x_n^{(k+1)})$ theo cùng cách như $(x_n^{(1)})$ được lập từ $(x_n)$; sau đó dùng một “thủ tục đường chéo” thích hợp.) c) Cho $r$ và $q$ là hai số nguyên $> 1$. Suy ra từ b) rằng nếu $r2^q \leqslant k \leqslant (r+1)2^q$, thì có (phân tích tổng ở vế trái thành nhiều phần, cho $h$ biến thiên từ 1 đến $2^q$, sau đó từ $(j-1)2^q + 1$ đến $j2^q$ với $2 \leqslant j \leqslant r$, rồi từ $r2^q + 1$ đến $k$). d) Chứng minh rằng với mọi dãy bị chặn $(x_n)$ trong E, tồn tại một dãy trích xuất $(x_{n_k})$ sao cho dãy các trung bình $(x_{n_1} + \cdots + x_{n_k})/k$ hội tụ đối với tôpô ban đầu của E (định lý Banach-Saks-Kakutani). (Dùng tính chất E là phản xạ, rút gọn về trường hợp dãy $(x_n)$ hội tụ về 0 đối với $\sigma(E, E')$, và dùng c) với $q$ và $r$ đủ lớn.)