Exercice 2, § 1

Fonctions d’une variable réelle, I

Dans l’intervalle $I = (0, 1)$ , on définit par récurrence une suite de fonctions continues numériques $(f_n)$ , de la manière suivante : On prend $f_0(x) = x$ ; pour tout entier $n \geq 1$ , $f_n$ est linéaire affine dans chacun des $3^n$ intervalles $\left[ \frac{k}{3^n}, \frac{k+1}{3^n} \right]$ pour $0 \leq k \leq 3^n - 1$ ; en outre, on prend

f_{n+1}\left( \frac{k}{3^n} \right) = f_n\left( \frac{k}{3^n} \right)

f_{n+1}\left( \frac{k}{3^n} + \frac{1}{3^{n+1}} \right) = f_n\left( \frac{k}{3^n} + \frac{2}{3^{n+1}} \right), \quad f_{n+1}\left( \frac{k}{3^n} + \frac{2}{3^{n+1}} \right) = f_n\left( \frac{k}{3^n} + \frac{1}{3^{n+1}} \right).

Montrer que la suite

(f_n)

converge uniformément dans

I

vers une fonction continue, qui n’a de dérivée (finie ou infinie) en aucun point de l’intervalle

]0, 1[

(utiliser l’exerc. 1).

Solution

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