Bài tập 2, § 1

Trên khoảng $I = [0, 1]$ ta định nghĩa một dãy các hàm thực liên tục $(f_n)$ quy nạp như sau: Ta lấy $f_0(x) = x$; với mỗi số nguyên $n \geq 1$ hàm $f_n$ là tuyến tính affine trên mỗi khoảng trong số $3^n$ khoảng $\left[ \frac{k}{3^n}, \frac{k+1}{3^n} \right]$ với $0 \leq k \leq 3^n - 1$; hơn nữa, ta lấy

Chứng minh rằng dãy $(f_n)$ hội tụ đều trên $I$ tới một hàm liên tục không có đạo hàm (hữu hạn hoặc vô hạn) tại mọi điểm của khoảng $]0, 1[$ (dùng Bài tập 1).