Exercice 6, § 1

Soit $(r_n)$ la suite des nombres rationnels appartenant à $(0, 1)$, rangés dans un certain ordre.

Montrer que la fonction $f(x) = \sum_{n=0}^\infty 2^{-n}(x - r_n)^{\frac{1}{3}}$ est continue et dérivable en tout point de $\mathbf{R}$ et admet une dérivée infinie en tout point $r_n$. (Pour voir que f est dérivable en un point x distinct des $r_n$, distinguer deux cas suivant que la série de terme général $2^{-n}(x - r_n)^{-\frac{2}{3}}$ a pour somme $+\infty$ ou est convergente; dans le second cas, remarquer que, pour tout $x \neq 0$ et tout $y \neq x$, on a