Bài tập 6, § 1

Cho $(r_n)$ là dãy được tạo thành bởi các số hữu tỉ trong $[0, 1]$, được sắp xếp theo một cấp nào đó. Chứng minh rằng hàm $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n}(x - r_n)^{1/3}$ là liên tục và khả vi tại mọi điểm của $\mathbf{R}$, và có đạo hàm vô hạn tại mọi điểm $r_n$. (Để thấy rằng $f$ khả vi tại một điểm $x$ phân biệt với các $r_n$, hãy phân biệt hai trường hợp, tùy theo việc chuỗi có số hạng tổng quát $2^{-n}(x - r_n)^{-2/3}$ có tổng $+\infty$ hay hội tụ; trong trường hợp thứ hai, chú ý rằng với mọi $x \neq 0$ và mọi $y \neq x$, ta có