Exercice 8, § 1

Soit $f$ une application de $\mathbf{R}$ dans lui-même, telle que l’ensemble C des points de $\mathbf{R}$ où f est continue soit dense dans $\mathbf{R}$, ainsi que son complémentaire A. Montrer que l’ensemble D des points de C où f est dérivable à droite est un ensemble maigre. (Pour tout entier n, soit $E_n$ l’ensemble des points $a \in \mathbf{R}$ tels qu’il existe deux points $x, y$ tels que $0 < x - a < 1/n, 0 < y - a < 1/n$ et

Montrer que l’intérieur de $E_n$ est partout dense dans $\mathbf{R}$. Pour cela, noter que pour tout intervalle ouvert non vide I dans $\mathbf{R}$, il y a un point $b \in I \cap A$; montrer que pour $a < b$ et $b - a$ assez petit, on a $a \in E_n$.)