Bài tập 8, § 1

Cho $f$ là một ánh xạ từ $\mathbf{R}$ vào chính nó sao cho tập hợp C các điểm của $\mathbf{R}$ tại đó $f$ liên tục là trù mật trong $\mathbf{R}$, và sao cho phần bù A của C cũng trù mật. Chứng minh rằng tập hợp D các điểm của C tại đó $f$ khả vi phải là thưa. (Với mỗi số nguyên n, gọi $E_n$ là tập hợp các điểm $a \in \mathbf{R}$ sao cho tồn tại hai điểm $x, y$ sao cho $0 < x - a < 1/n, 0 < y - a < 1/n$ và

Chứng minh rằng phần trong của $E_n$ là trù mật trong $\mathbf{R}$. Để làm điều này, chú ý rằng với mọi khoảng khác rỗng mở $I$ trong $\mathbf{R}$ tồn tại một điểm $b \in I \cap A$; chứng minh rằng với $a < b$ và $b - a$ đủ nhỏ thì $a \in E_n$.)