Bourbaki

Exercice 10, § 2

Fonctions d’une variable réelle, I, p. 45

Soient ff et gg deux fonctions numériques finies, strictement positives, continues et dérivables dans un intervalle ouvert II. Montrer que, si f′f' et g′g' sont strictement positives, et f′/g′f'/g' strictement croissante dans II, ou bien f/gf/g est strictement croissante dans II, ou bien il existe un nombre c∈Ic \in I, tel que f/gf/g soit strictement décroissante pour x⩽cx \leqslant c, et strictement croissante pour x⩾cx \geqslant c (remarquer que si on a f′(x)/g′(x)<f(x)/g(x)f'(x)/g'(x) < f(x)/g(x), on a aussi

f′(y)/g′(y)<f(y)/g(y) f'(y)/g'(y) < f(y)/g(y)
pour tout y<xy < x).

Solution

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Transcrit du volume imprimé. Non traduit.