Exercice 14, § 2

Soit $\mathbf{f}$ une fonction vectorielle définie et continue dans un intervalle compact $I = [a, b]$ de $\mathbf{R}$, à valeurs dans un espace normé sur $\mathbf{R}$. On suppose que $\mathbf{f}$ admet une dérivée à droite en tous les points du complémentaire par rapport à $[a, b[$ d’une partie dénombrable $A$ de cet intervalle. Montrer qu’il existe un point $x \in ]a, b[\cap \mathbf{C}A$ tel que

(Raisonner par l’absurde, en décomposant $[a, b[$ en trois intervalles $[a, t[$, $[t, t+h[$ et (t + h, b( avec t \notin A; si k = \|f(b) - f(a)\|/(b - a), noter que pour h assez petit, on a \|f(t + h) - f(t)\| < k.h, et utiliser le th. 2 de I, p. 23, dans les autres intervalles.)