Bài tập 14, § 2

Cho $f$ là một hàm vectơ được xác định và liên tục trên một khoảng compact $I = [a, b]$ trong $\mathbf{R}$, với các giá trị trong một không gian định chuẩn trên $\mathbf{R}$. Giả sử rằng $f$ có đạo hàm phải tại mọi điểm của phần bù đối với $[a, b[$ của một tập con đếm được A của khoảng này. Chứng minh rằng tồn tại một điểm $x \in ]a, b[\cap \overline{A}$ sao cho

(Lập luận bằng phản chứng, phân hoạch $[a, b[$ thành ba khoảng $[a, t[$, $[t, t + h[$ và $[t + h, b[$ với $t \notin A$; nếu $k = \|f(b) - f(a)\|/(b - a)$, chú ý rằng với $h$ đủ nhỏ ta có $\|f(t + h) - f(t)\| < k.h$, và dùng định lý 2 của I, p. 15 cho các khoảng còn lại.)