Exercice 3, § 2

a) Soient $K$ l’ensemble triadique de Cantor (TG, IV, p. 9), $I_{n,p}$ les $2^n$ intervalles contigus à $K$ et de longueur $1/3^{n+1}$ ($1 \leq p \leq 2^n$), $K_{n,p}$ les $2^{n+1}$ intervalles fermés de longueur $1/3^{n+1}$ dont la réunion est le complémentaire de la réunion des $I_{m,p}$ pour $m \leq n$. Soit $\alpha$ un nombre tel que $1 < \alpha < 3/2$; pour tout $n$, on désigne par $f_n$ la fonction continue croissante dans $(0, 1)$, égale à 0 pour $x = 0$, constante dans chacun des intervalles $I_{m,p}$ tels que $m \leq n$, linéaire affine dans chacun des intervalles $K_{n,p}$ ($1 \leq p \leq 2^{n+1}$) et telle que $f_n'(x) = \alpha^{n+1}$ dans chacun des intérieurs de ces derniers intervalles. Montrer que la série de terme général $f_n$ est uniformément convergente dans $(0, 1)$, a pour somme une fonction $f$ qui admet partout une dérivée à droite (finie ou non) dans $(0, 1[$, et que l’on a $f'_d(x) = +\infty$ en tout point de $K$ distinct des origines des intervalles contigus $I_{n,p}$.

b) Soit $g$ une application continue croissante de $(0, 1)$ sur lui-même, constante dans chacun des intervalles $I_{n,p}$ (TG, IV, p. 63, exerc. 9). Si $h = f + g$, montrer que $h$ admet une dérivée à droite égale à $f'_d(x)$ en tout point $x$ de $(0, 1[$.