Bài tập 3, § 2

a) Cho $K$ là tập Cantor tam phân (Gen. Top., IV, p. 338), cho $I_{n,p}$ là các $2^n$ khoảng liên tiếp của $K$ có độ dài $1/3^{n+1}$ ($1 \leq p \leq 2^n$), và $K_{n,p}$ là các $2^{n+1}$ khoảng đóng có độ dài $1/3^{n+1}$ mà hợp của chúng là phần bù của hợp các $I_{m,p}$ với $m \leq n$. Cho $\alpha$ là một số sao cho $1 < \alpha < 3/2$; với mỗi $n$ ta ký hiệu $f_n$ là hàm tăng liên tục trên $[0, 1]$, bằng 0 với $x = 0$, hằng trên mỗi khoảng $I_{m,p}$ với $m \leq n$, tuyến tính affine trên mỗi khoảng $K_{n,p}$ ($1 \leq p \leq 2^{n+1}$) và sao cho $f_d'(x) = \alpha^{n+1}$ trên mỗi phần trong của các khoảng cuối cùng này. Hãy chứng minh rằng chuỗi có số hạng tổng quát $f_n$ hội tụ đều trên $[0, 1]$, rằng tổng của nó là một hàm $f$ có đạo hàm phải (hữu hạn hoặc không) tại mọi điểm trong $[0, 1[$, và rằng ta có $f'_r(x) = +\infty$ tại mọi điểm của $K$ phân biệt với các đầu mút trái của các khoảng liên tiếp $I_{n,p}$.

b) Cho $g$ là một ánh xạ tăng liên tục của $[0, 1]$ lên chính nó, hằng trên mỗi khoảng $I_{n,p}$ (Gen. Top., IV, p. 403, Bài tập 9). Nếu $h = f + g$, hãy chứng minh rằng $h$ có một đạo hàm phải bằng $f_d'(x)$ tại mọi điểm $x$ của $[0, 1[$.