Exercice 5, § 2

Soit $\mathbf{f}$ l’application vectorielle de $I = (0, 1)$ dans $\mathbf{R}^3$ définie comme suit : pour $0 \leq t \leq \frac{1}{4}$, $\mathbf{f}(t) = (-4t, 0, 0)$; pour $\frac{1}{4} \leq t \leq \frac{1}{2}$, $\mathbf{f}(t) = (-1, 4t - 1, 0)$; pour $\frac{1}{2} \leq t \leq \frac{3}{4}$, $\mathbf{f}(t) = (-1, 1, 4t - 2)$; enfin, pour $\frac{3}{4} \leq t \leq 1$, $\mathbf{f}(t) = (4t - 4, 1, 1)$. Montrer que l’ensemble convexe engendré par l’ensemble $\mathbf{f}'(I)$ n’est pas identique à l’adhérence de l’ensemble des valeurs de $\frac{\mathbf{f}(y) - \mathbf{f}(x)}{y - x}$ lorsque $(x, y)$ parcourt l’ensemble des couples de points distincts de $I$ (cf. exerc. 4 a)).