Exercice 13, § 3

a) Soit $f$ une fonction numérique deux fois dérivable dans $\mathbf{R}$, et telle que l’on ait $(f(x))^2 \leq a$ et $(f'(x))^2 + (f''(x))^2 \leq b$ dans $\mathbf{R}$; montrer qu’on a

dans $\mathbf{R}$ (raisonner par l’absurde, en remarquant que si la fonction $f^2 + {f'}^2$ prend une valeur $c > \max(a, b)$ en un point $x_0$, i. existe deux points $x_1, x_2$ tels que $x_1 < x_0 < x_2$ et qu’en $x_1$ et $x_2$ la fonction $f'$ prenne des valeurs assez petites pour que $f^2 + {f'}^2$ prenne des valeurs $< c$; considérer alors un point de $(x_1, x_2)$ où $f^2 + {f'}^2$ atteint sa borne supérieure dans cet intervalle).

b) Soit $f$ une fonction numérique $n$ fois dérivable dans $\mathbf{R}$, et telle que l’on ait $(f(x))^2 \leq a$ et $(f^{(n-1)}(x))^2 + (f^{(n)}(x))^2 \leq b$ dans $\mathbf{R}$; montrer que l’on a

dans $\mathbf{R}$ pour $1 \leq k \leq n$. (Raisonner par récurrence sur $n$; remarquer que, d’après l’exerc. 12, la borne supérieure $c$ de $(f^{(k)}(x))^2$ dans $\mathbf{R}$ est finie; montrer qu’on a nécessairement $c \leq \max(a, b)$ en raisonnant par l’absurde; dans l’hypothèse où $c > \max(a, b)$, choisir les constantes $\lambda$ et $\mu$ de sorte que pour la fonction $g = \lambda f + \mu$, on ait $|g(x)| \leq 1, |g'(x)| \leq 1$, mais qu’on ne puisse avoir $(g(x))^2 + (g'(x))^2 \leq 1$ pour tout $x$).