Bài tập 13, § 3

(a) Cho $f$ là một hàm thực khả vi hai lần trên $\mathbf{R}$, sao cho $(f(x))^2 \leq a$ và $(f'(x))^2 + (f''(x))^2 \leq b$ trên $\mathbf{R}$; chứng minh rằng

trên $\mathbf{R}$ (lập luận bằng phản chứng, chú ý rằng nếu hàm $f^2 + {f'}^2$ nhận giá trị $c > \max(a, b)$ tại một điểm $x_0$ thì tồn tại hai điểm $x_1, x_2$ sao cho $x_1 < x_0 < x_2$ và tại $x_1$ và $x_2$ hàm $f'$ nhận các giá trị đủ nhỏ để $f^2 + {f'}^2$ nhận các giá trị $< c$; sau đó xét một điểm của $[x_1, x_2]$ tại đó $f^2 + {f'}^2$ đạt cận trên đúng của nó trên khoảng này).

(b) Cho $f$ là một hàm thực khả vi $n$ lần trên $\mathbf{R}$, và sao cho $(f(x))^2 \leq a$ và $(f^{(n-1)}(x))^2 + (f^{(n)}(x))^2 \leq b$ trên $\mathbf{R}$; chứng minh rằng khi đó

trên $\mathbf{R}$ với $1 \leq k \leq n$. (Lập luận bằng quy nạp theo $n$; chú ý rằng, theo Bài tập 12, cận trên đúng $c$ của $(f'(x))^2$ trên $\mathbf{R}$ là hữu hạn; chứng minh rằng nhất thiết có $c \leq \max(a, b)$ bằng cách quy về một mâu thuẫn: giả sử rằng $c > \max(a, b)$ chọn các hằng số $\lambda$ và $\mu$ sao cho với hàm $g = \lambda f + \mu$ ta có $|g(x)| \leq 1,\ |g'(x)| \leq 1$, nhưng không thể có $(g(x))^2 + (g'(x))^2 \leq 1$ với mọi $x$.)