Exercice 14, § 3

Soit $f$ une fonction $n - 1$ fois dérivable dans un intervalle $I$ contenant 0, et soit $f_n$ la fonction vectorielle définie pour $x \neq 0$ dans $I$ par la relation

a) Montrer que si $f$ admet une dérivée $(n + p)$-ème au point 0, $f_n$ admet une dérivée $p$-ème au point 0 et une dérivée $(n + p - 1)$-ème en tout point d’un voisinage de 0 distinct de 0; en outre, on a $f_n^{(k)}(0) = \frac{k!}{(n + k)!} f^{(n+k)}(0)$ pour $0 \leq k \leq p$, et $f_n^{(p+k)}(x) \cdot x^k$ tend vers 0 avec $x$, pour $1 \leq k \leq n - 1$ (exprimer les dérivées de $f_n$ à l’aide des développements de Taylor des dérivées successives de $f$, et utiliser la prop. 6 de I, p. 26).

b) Inversement, soit $f_n$ une fonction vectorielle admettant une dérivée $(n + p - 1)$-ème dans un voisinage de 0 dans $I$, et telle que $f_n^{(p+k)}(x) \cdot x^k$ tende vers une limite pour $0 \leq k \leq n - 1$. Montrer que la fonction $f_n(x) \cdot x^n$ admet une dérivée $(n + p - 1)$-ème dans $I$; si en outre $f_n$ admet une dérivée $p$-ème au point 0, $f_n(x) \cdot x^n$ admet une dérivée $(n + p)$-ème au point 0.

c) On suppose I symétrique par rapport à 0, et $f$ paire ($f(-x) = f(x)$ dans I). Montrer, à l’aide de a) que, si $f$ est $2n$ fois dérivable dans I, il existe une fonction g définie et n fois dérivable dans I, telle que $f(x) = g(x^2)$ dans I.