Bài tập 14, § 3

Cho $\mathbf{f}$ là một hàm khả vi $n - 1$ lần trên một khoảng $I$ chứa 0, và cho $\mathbf{f}_n$ là hàm vectơ được xác định với $x \neq 0$ trên $I$ bởi quan hệ

a) Chứng minh rằng nếu $\mathbf{f}$ có đạo hàm $(n+p)^{th}$ tại điểm 0 thì $\mathbf{f}_n$ có đạo hàm $p^{th}$ tại điểm 0 và đạo hàm $(n+p-1)^{th}$ tại mọi điểm của một lân cận của 0 phân biệt với 0; hơn nữa, ta có $\mathbf{f}_n^{(k)}(0) = \frac{k!}{(n+k)!} \mathbf{f}^{(n+k)}(0)$ với $0 \leq k \leq p$, và $\mathbf{f}_n^{(p+k)}(x)x^k$ tiến tới 0 khi $x$ tiến tới 0, với $1 \leq k \leq n-1$ (biểu diễn các đạo hàm của $\mathbf{f}_n$ nhờ các khai triển Taylor của các đạo hàm liên tiếp của $\mathbf{f}$, và sử dụng mđề 6 của I, p. 18).

b) Ngược lại, cho $\mathbf{f}_n$ là một hàm vectơ nhận đạo hàm $(n+p-1)^{th}$ trên một lân cận của 0 trong $I$, và sao cho $\mathbf{f}_n^{(p+k)}(x)x^k$ có một giới hạn với $0 \leq k \leq n-1$. Chứng minh rằng hàm $\mathbf{f}_n(x)x^n$ có đạo hàm $(n+p-1)^{th}$ trên $I$; nếu thêm nữa, $\mathbf{f}_n$ nhận đạo hàm $p^{th}$ tại điểm 0, thì $\mathbf{f}_n(x)x^n$ nhận đạo hàm $(n+p)^{th}$ tại điểm 0.

c) Giả sử rằng $I$ là đối xứng đối với 0 và rằng $\mathbf{f}$ là chẵn ($\mathbf{f}(-x) = \mathbf{f}(x)$ trên $I$). Chứng minh, nhờ a), rằng nếu $\mathbf{f}$ khả vi $2n$ lần trên $I$, thì tồn tại một hàm $g$ được xác định và khả vi $n$ lần trên $I$, sao cho $\mathbf{f}(x) = g(x^2)$ trên $I$.