Exercice 15, § 3

Soit I un intervalle ouvert de $\mathbf{R}$, $\mathbf{f}$ une fonction vectorielle définie et continue dans I ; on suppose qu’il existe n fonctions vectorielles $\mathbf{g}_i$ ($1 \leq i \leq n$) définies dans I, et telles que la fonction de $x$

tende uniformément vers 0 dans tout intervalle compact contenu dans I, lorsque $h$ tend vers 0.

a) On pose $\mathbf{f}_p(x, h) = \Delta^p \mathbf{f}(x; h, h, \ldots, h)$ (I, p. 46, exerc. 6). Montrer que pour $1 \leq p \leq n$, $(1/h^p) \mathbf{f}_p(x, h)$ tend uniformément vers $\mathbf{g}_p(x)$ dans tout intervalle compact contenu dans I, lorsque $h$ tend vers 0, et que les $\mathbf{g}_p$ sont des fonctions continues dans I (le démontrer successivement pour $p = n, p = n - 1$, etc.).

b) En déduire que $\mathbf{f}$ possède dans I une dérivée n-ème continue et qu’on a $\mathbf{f}^{(n)} = \mathbf{g}_n$ pour $1 \leq p \leq n$ (tenir compte de la relation $\mathbf{f}_{p+1}(x, h) = \mathbf{f}(x + h, h) - \mathbf{f}_p(x, h)$).