Bài tập 15, § 3

Cho $I$ là một khoảng mở trong $\mathbf{R}$, và $\mathbf{f}$ là một hàm vectơ được xác định và liên tục trên $I$; giả sử rằng có $n$ hàm vectơ $g_i$ ($1 \leq i \leq n$) được xác định trên $I$, và sao cho hàm của $x$

tiến đều về 0 trên mọi khoảng compact được chứa trong $I$ khi $h$ tiến về 0

a) Ta đặt $\mathbf{f}_p(x,h) = \Delta^p \mathbf{f}(x;h,h,\ldots,h)$ (I, p. 40, exerc. 6). Chứng minh rằng, với $1 \leq p \leq n$, $(1/h^p) \mathbf{f}_p(x,h)$ tiến đều về $\mathbf{g}_p(x)$ trên mọi khoảng con compact của $I$ khi $h$ tiến về 0, và rằng các $\mathbf{g}_p$ là liên tục trên $I$ (chứng minh lần lượt cho $p = n, p = n-1$, v.v.)

b) Suy ra từ đó rằng $\mathbf{f}$ có đạo hàm cấp $n$ liên tục và rằng $\mathbf{f}^{(p)} = \mathbf{g}_p$ với $1 \leq p \leq n$ (tính đến quan hệ $\mathbf{f}_{p+1}(x,h) = \mathbf{f}(x+h,h) - \mathbf{f}_p(x,h)$).