Exercice 17, § 3

a) Soit $\mathbf{f}$ une fonction vectorielle ayant des dérivées de tous ordres dans un intervalle ouvert $I \subset \mathbf{R}$. On suppose que, dans I, on ait $\| \mathbf{f}^{(n)}(x) \| \leq a . n! r^n$, où $a$ et $r$ sont deux nombres $> 0$ indépendants de $x$ et de $n$; montrer qu’en tout point $x_0$, la « série de Taylor » de terme général $(1/n!) \mathbf{f}^{(n)}(x_0)(x - x_0)^n$ est convergente et a pour somme $\mathbf{f}(x)$ dans un voisinage de $x_0$.

b) Inversement, si la série de Taylor de $\mathbf{f}$ en un point $x_0$ converge dans un voisinage de $x_0$, il existe deux nombres $a$ et $r$ (dépendant de $x_0$) tels que $\| \mathbf{f}^{(n)}(x_0) \| \leq a . n! r^n$ pour tout entier $n > 0$.

c) Déduire de a) et de l’exerc. 16 b) que si, dans un intervalle ouvert $I \subset \mathbf{R}$, une fonction numérique $f$ est indéfiniment dérivable et s’il existe un entier $p$ indépendant de $n$ tel que, pour tout $n$, $f^{(n)}$ ne s’annule pas en plus de $p$ points distincts de I, alors la série de Taylor de $f$ au voisinage de tout point $x_0 \in I$ est convergente et a pour somme $f(x)$ en tout point d’un voisinage de $x_0$.