Bài tập 17, § 3

a) Cho $f$ là một hàm vectơ có đạo hàm mọi cấp trên một khoảng mở $I \subset \mathbf{R}$. Giả sử rằng, trên $I$, ta có $\|f^{(n)}(x)\| \leq a n! r^n$, trong đó $a$ và $r$ là hai số $> 0$ và độc lập với $x$ và $n$; hãy chỉ ra rằng tại mỗi điểm $x_0$ "chuỗi Taylor" có số hạng tổng quát $(1/n!) f^{(n)}(x_0) (x - x_0)^n$ là hội tụ, và có tổng $f(x)$ trên một lân cận nào đó của $x_0$.

b) Ngược lại, nếu chuỗi Taylor của $f$ tại một điểm $x_0$ hội tụ trên một lân cận của $x_0$, thì tồn tại hai số $a$ và $r$ (phụ thuộc vào $x_0$) sao cho $\|f^{(n)}(x_0)\| \leq a . n! r^n$ với mọi số nguyên $n > 0$.

c) Suy ra từ a) và Bài tập 16 b) rằng nếu, trên một khoảng mở $I \subset \mathbf{R}$, một hàm thực $f$ khả vi vô hạn và nếu có một số nguyên $p$ độc lập với $n$ sao cho, với mọi $n$, hàm $f^{(n)}$ không triệt tiêu tại quá $p$ điểm phân biệt của $I$, thì chuỗi Taylor của $f$ trên một lân cận của mỗi điểm $x_0 \in I$ là hội tụ, và có tổng $f(x)$ tại mọi điểm của một lân cận của $x_0$.