Exercice 9, § 3

Fonctions d’une variable réelle, I, p. 47

Avec les mêmes notations que dans l’exerc. 8, on suppose que $f$ est $n$ fois dérivable dans $I$ mais par ailleurs quelconque. Soit $g$ le polynôme de degré $n - 1$ (à coefficients réels) tel qu’au point $x_i$ ( $1 \leq i \leq p$ ), $g$ et ses $n_i - 1$ premières dérivées soient respectivement égaux à $f$ et ses $n_i - 1$ premières dérivées. Montrer qu’on a

f(x) = g(x) + \frac{(x - x_1)^{n_1}(x - x_2)^{n_2} \ldots (x - x_p)^{n_p}}{n!} f^{(n)}(\xi)

où $\xi$ est intérieur au plus petit intervalle contenant les points $x_i (1 \leq i \leq p)$ et $x$ . (Appliquer l’exerc. 8 à la fonction de $t$

f(t) - g(t) = a \frac{(t-x_1)^{n_1}(t-x_2)^{n_2} \ldots (t-x_p)^{n_p}}{n!}

où $a$ est une constante convenablement choisie.)

Solution

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