Exercice 1, § 4

a) Soit $H$ un ensemble de fonctions convexes dans un intervalle compact $(a, b) \subset \mathbf{R}$; on suppose que les ensembles $H(a)$ et $H(b)$ sont majorés dans $\mathbf{R}$ et qu’il existe un point $c$ tel que $a < c < b$ et que $H(c)$ soit minoré dans $\mathbf{R}$; montrer que $H$ est un ensemble équicontinu dans $[a, b[$ (TG, X, p. 10).

b) Soit $H$ un ensemble de fonctions convexes dans un intervalle $I \subset \mathbf{R}$, et soit $\mathfrak{F}$ un filtre sur $H$ qui converge simplement dans $I$ vers une fonction $f_0$; montrer que $\mathfrak{F}$ converge uniformément vers $f_0$ dans tout intervalle compact contenu dans $I$.