Bài tập 1, § 4

a) Cho $H$ là một tập hợp các hàm lồi trên một khoảng compact $[a, b] \subset \mathbf{R}$; giả sử rằng các tập hợp $H(a)$ và $H(b)$ bị chặn trên trong $\mathbf{R}$ và rằng tồn tại một điểm $c$ sao cho $a < c < b$ và $H(c)$ bị chặn dưới trong $\mathbf{R}$; chứng minh rằng $H$ là một tập hợp liên tục đều trên $]a, b[$ (Gen. Top., X, p. 283)

b) Cho $H$ là một tập hợp các hàm lồi trên một khoảng $I \subset \mathbf{R}$, và cho $\tilde{\mathscr{F}}$ là một lọc trên $H$ hội tụ điểm một trên $I$ đến một hàm $f_0$; chứng minh rằng $\tilde{\mathscr{F}}$ hội tụ đều đến $f_0$ trên mọi khoảng compact được chứa trong $I$.