Exercice 13, § 4

Soit $f$ une fonction numérique dérivable dans un intervalle ouvert $I \subset \mathbf{R}$. On suppose que, pour tout couple $(a, b)$ de points de $I$ tels que $a < b$, il existe un seul point $c \in ]a, b[$ tel que $f(b) - f(a) = (b-a)f'(c)$; montrer que $f$ est strictement convexe dans $I$ ou strictement concave dans $I$ (montrer que $f'$ est strictement monotone dans $I$).