Exercice 19, § 4

Soient $f$ et $g$ deux fonctions numériques finies, $f$ étant définie et continue dans un intervalle $I$, $g$ définie et continue dans $\mathbf{R}$. On suppose que, pour tout couple $(\lambda, \mu)$ de nombres réels, $g(f(x)) + \lambda x + \mu$ soit convexe dans $I$. a) Montrer que $g$ est convexe et monotone dans $\mathbf{R}$. b) Si $g$ est croissante (resp. décroissante) dans $\mathbf{R}$, montrer que $f$ est convexe (resp. concave) dans $I$ (utiliser la prop. 7).