Exercice 20, § 4

Montrer que l’ensemble $\mathscr{F}$ des fonctions convexes dans un intervalle $I \neq \mathbf{R}$ est un ensemble réticulé pour la relation d’ordre « quel que soit $x \in I$, $f(x) \leqslant g(x)$ » (E, III, p. 13). Donner un exemple de deux fonctions $f, g$ convexes dans $I$ dont la borne inférieure dans $\mathscr{F}$ prend en certains points une valeur distincte de $\inf (f(x), g(x))$. Donner un exemple d’une famille infinie $(f_a)$ de fonctions de $\mathscr{F}$ telle que $\inf_{x \in I} f_a(x)$ soit fini en tout point $x \in I$, mais telle qu’il n’existe aucune fonction de $\mathscr{F}$ inférieure à toutes les $f_a$.