Exercice 22, § 4

Soient $f_1, \ldots, f_n$ des fonctions convexes continues dans un intervalle compact $I \subset \mathbf{R}$; on suppose que pour tout $x \in I$, on ait $\sup (f_j(x)) \geqslant 0$. Montrer qu’il existe $n$ nombres $\alpha_j \geqslant 0$ tels que $\sum_{j=1}^n \alpha_j = 1$ et que l’on ait $\sum_{j=1}^n \alpha_j f_j(x) \geqslant 0$ dans $I$. (Traiter d’abord le cas $n = 2$ en considérant un point $x_0$ où l’enveloppe supérieure $\sup(f_1, f_2)$ atteint son minimum; lorsque $x_0$ est intérieur à $I$, déterminer $\alpha_1$ de façon que la dérivée à gauche de $\alpha_1 f_1 + (1-\alpha_1) f_2$ au point $x_0$ soit nulle. Passer de là au cas général en raisonnant par récurrence sur $n$; utiliser l’hypothèse de récurrence pour les restrictions de $f_1, \ldots, f_{n-1}$ à l’intervalle compact où $f_n(x) \leqslant 0$.)