Bài tập 22, § 4

Cho $f_1, \ldots, f_n$ là các hàm lồi liên tục trong một khoảng compact $I \subset \mathbf{R}$; giả sử rằng với mọi $x \in I$, ta có $\sup (f_j(x)) \geqslant 0$. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại $n$ số $\alpha_j \geqslant 0$ sao cho $\sum_{j=1}^n \alpha_j = 1$ và ta có $\sum_{j=1}^n \alpha_j f_j(x) \geqslant 0$ trong $I$. (Trước hết xét trường hợp $n = 2$ bằng cách xét một điểm $x_0$ tại đó bao trên $\sup(f_1, f_2)$ đạt giá trị nhỏ nhất; khi $x_0$ là điểm trong của $I$, xác định $\alpha_1$ sao cho đạo hàm trái của $\alpha_1 f_1 + (1-\alpha_1) f_2$ tại điểm $x_0$ bằng không. Từ đó chuyển sang trường hợp tổng quát bằng cách lập luận quy nạp theo $n$; dùng giả thiết quy nạp cho các hạn chế của $f_1, \ldots, f_{n-1}$ trên khoảng compact trong đó $f_n(x) \leqslant 0$.)