Exercice 24, § 4

Fonctions d’une variable réelle, I, p. 53

Soit $P(x)$ , un polynôme de degré $n$ à coefficients réels dont toutes les racines sont réelles et contenues dans l’intervalle $(-1, 1)$ . Soit $k$ un entier tel que $1 \leqslant k \leqslant n$ . Montrer que la fonction rationnelle

f(x) = x + \frac{P^{(k-1)}(x)}{P^{(k)}(x)}

est croissante dans tout intervalle de $\mathbf{R}$ où elle est définie; si $c_1 < c_2 < \cdots < c_r$ sont ses pôles (contenus dans (−1, 1)), f est convexe pour x < c₁ et concave pour x > c₁. En déduire que lorsque a parcourt (−1, 1), la longueur du plus grand intervalle contenant les zéros de la dérivée k-ème de (x − a)P(x) atteint sa plus grande valeur lorsque a = 1 ou a = −1.

Solution

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