Bài tập 24, § 4

Cho $P(x)$ là một đa thức bậc $n$ với các hệ số thực mà tất cả các nghiệm của nó đều là thực và được chứa trong khoảng $[-1, 1]$. Cho $k$ là một số nguyên sao cho $1 \leq k \leq n$. Chứng minh rằng hàm hữu tỉ

là tăng trên mọi khoảng của $\mathbf{R}$ mà nó được xác định: nếu $c_1 < c_2 < \cdots < c_r$ là các cực của nó (được chứa trong $[-1, 1]$), thì $f$ là lồi đối với $x < c_1$ và lõm đối với $x > c_r$. Suy ra rằng khi $a$ chạy qua $[-1, 1]$, độ dài của khoảng lớn nhất chứa các nghiệm của đạo hàm $k^{th}$ của $(x-a)P(x)$ đạt giá trị lớn nhất của nó khi $a = 1$ hoặc $a = -1$.