Exercice 9, § 4

Soit $f$ une fonction numérique finie, semi-continue inférieurement dans un intervalle $I \subset \mathbf{R}$. Pour que $f$ soit convexe dans $I$, il suffit que, pour tout couple de points $a, b$ de $I$ tels que $a < b$, il existe un point $z$ tel que $a < z < b$, et que $M_z$ soit au-dessous du segment $M_aM_b$ (raisonner par l’absurde, en remarquant que l’ensemble des points $x$ tels que $M_x$ soit strictement au-dessus de $M_aM_b$ est ouvert).