Exercice 2, § 3

Fonctions d’une variable réelle, II, p. 35

Soient $f$ et $g$ deux fonctions numériques réglées dans un intervalle compact $(a, b)$ , telles que $f$ soit décroissante dans $(a, b)$ , et $0 \leqslant g(t) \leqslant 1$ . Si on pose $\lambda = \int_a^b g(t) \, dt$ , montrer que l’on a

\int_{b-\lambda}^b f(t) \, dt < \int_a^b f(t)g(t) \, dt < \int_a^{a+\lambda} f(t) \, dt

sauf lorsque

f

est constante, ou que

g

est égale à 0 (resp. 1) en tous les points où elle est continue (auxquels cas les trois membres sont égaux). (Dans l’intégrale

\int_x^y f(t)g(t) \, dt

, faire varier l’une des limites d’intégration.)

Solution

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