Exercice 1, § 1

Soit $f$ une application continue et dérivable de $\mathbf{R}$ dans un algèbre normée complète $E$ sur $\mathbf{R}$, ayant un élément unité $e$; on suppose que $f(0) = e$ et qu’on ait identiquement $f'(x) = f(x)e$, où $e$ est un élément inversible de $E$. Montrer que $f$ est un homomorphisme du groupe additif $\mathbf{R}$ dans le groupe multiplicatif $G$ des éléments inversibles de $E$. (Considérer le plus grand intervalle ouvert $I$ contenant $0$ et tel que $f(x)$ soit inversible pour tout $x \in I$, et prouver que pour $x, y$ et $x + y$ dans $I$ on a $f(x + y) (f(x)f(y))^{-1} = e$ en laissant $x$ fixe et faisant varier $y$; en déduire enfin que $I = \mathbf{R}$.)