Bài tập 1, § 1

Cho $f$ là một ánh xạ liên tục và khả vi từ $\mathbf{R}$ vào một đại số định chuẩn đầy đủ $E$ trên $\mathbf{R}$ có phần tử đơn vị $e$; giả sử rằng $f(0) = e$ và đồng nhất, $f'(x) = f(x)c$ trong đó $c$ là một phần tử khả nghịch của $E$. Chứng minh rằng $f$ là một đồng cấu của nhóm cộng $\mathbf{R}$ vào nhóm nhân các phần tử khả nghịch của $E$. (Xét khoảng mở lớn nhất $I$ chứa 0 sao cho $f(z)$ là khả nghịch với mọi $z \in I$, và chứng minh rằng với $x, y$ và $x + y$ thuộc $I$ ta có $f(x + y)(f(x)f(y))^{-1} = e$ bằng cách giữ $x$ cố định và cho $y$ biến thiên; sau đó suy ra rằng $I = \mathbf{R}$.)